Question

（2005•太原）如圖，直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，⊙C是△ABO的外接圓（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∠BAO的平分線交⊙C于點(diǎn)D，連接BD、OD．
（1）求證：BD=AO；
（2）在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)E，使得△ODE與△OAB相似；
（3）設(shè)點(diǎn)A′在OAB上由O向B移動，但不與點(diǎn)O、B重合，記△OA′B的內(nèi)心為I，點(diǎn)I隨點(diǎn)A′的移動所經(jīng)過的路程為l，求l的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，求出A（0，2），B（-2，0），利用勾股定理求出三角形ABO的邊，由邊的長度，可求出∠ABO=30°，∠BAO=60°，利用∠BAO的平分線交⊙C于點(diǎn)D，可求出∠ABO=30°=∠BAD，所以BD=AO；
（2）分兩種情況：①當(dāng)∠ODE=90°時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（0，-4），E₂（-，0）；
②當(dāng)∠OED=90°時(shí)，E₃（0，-1），E₄（-，0）；
（3）可設(shè)I為△OA'B的內(nèi)心連接BI，利用動點(diǎn)I到定點(diǎn)D的距離為2，即點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧OIB（不含點(diǎn)O、B），可求出弧OIB的長為，進(jìn)而求出l的取值范圍．
解答：（1）證明：∵直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B
∴A（0，2），B（-2，0），
∴OA=2，0B=2，AB=4，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
∵∠BAO的平分線交⊙C于點(diǎn)D，
∴∠ABO=30°=∠BAD，
∴BD=AO；

（2）解：
①當(dāng)∠ODE=90°時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（0，-4），E₂（-，0）；
②當(dāng)∠OED=90°時(shí)，E₃（0，-1），E₄（-，0）；
∴符合點(diǎn)E的坐標(biāo)有四個(gè)；

（3）解：
如圖，設(shè)I為△OA'B的內(nèi)心連接BI，連接BH，
∴∠A′BI=∠IBO，
∵BD=OD，∴∠BA′D=∠DBO，
∴∠A′BI+∠BA′D=∠IBO+∠OBD，即∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵BD=OA=2，∴ID=2，
∴動點(diǎn)I到定點(diǎn)D的距離為2，即點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧OIB（不含點(diǎn)O、B），
弧OIB的長為，
則l的取值范圍是0＜l＜．
點(diǎn)評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用勾股定理和圓的性質(zhì)即可解決問題．