(2002•內(nèi)江)如圖,一次函數(shù)y=-x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)Q,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為C,其圖象過(guò)A、Q兩點(diǎn),并與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)B(B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)),△ABC三內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a,b,c.若關(guān)于x的方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,且a=b;
(1)試判定△ABC的形狀;
(2)當(dāng)時(shí)求此拋物線的解析式;
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△ABP=S四邊形ACBQ?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)可將題中給出的方程進(jìn)行整理,已知了方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,那么方程的△=0,然后聯(lián)立a=b,即可判斷出三角形ABC的形狀.
(2)可先根據(jù)直線AQ的解析式求出A、Q的坐標(biāo),進(jìn)而可求出線段AQ的長(zhǎng),根據(jù)AB、AQ的比例關(guān)系式,可求出AB的長(zhǎng),即可得出B點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)已知的A、B、Q的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)可先求出四邊形ACBQ的面積,然后根據(jù)三角形ABP和四邊形ACBQ面積相等,即可得出三角形ABP的面積,AB長(zhǎng)為定值,可求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,將其代入拋物線的解析式中,即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)方程整理得(c-a)x2+2bx+(c+a)=0;
由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
得△=0

即△ABC為等腰直角三角形.

(2)在y=-x+3中,令x=0,則y=3;令y=0,則x=3;
∴A(3,0),Q(0,3);
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0);
∴AB=3-x
在Rt△AOQ中,AQ==3,
,
,
解之得:x=1,
∴B(1,0),
∵拋物線過(guò)A、B、Q三點(diǎn),則有:
,
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

(3)假設(shè)拋物線上有點(diǎn)P,坐標(biāo)為(x,y);
∴S△ABP=×AB×|y|=|y|;
S四邊形ACBQ=S△ABC+S△ABQ
=×2×1+×2×3=4
由S△ABP=S四邊形ACBQ,得|y|=4;
∴y=±4;
當(dāng)y=4時(shí),x2-4x+3=4;解得x=2+,x=2-;
當(dāng)y=-4時(shí),x2-4x+3=-4,△<0,方程無(wú)解.
∴拋物線上存在點(diǎn)P的,其坐標(biāo)為(2+,4)或(2-,4).
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰直角三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識(shí).
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(2);
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