【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC中點(diǎn),CE⊥AD于E,BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F.

(1)求證:△ACD≌△CBF;
(2)求證:AB垂直平分DF.

【答案】
(1)解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠CAB=∠CBA=45°,

∵CE⊥AD,

∴∠CAD=∠BCF,

∵BF∥AC,

∴∠FBA=∠CAB=45°

∴∠ACB=∠CBF=90°,

在△ACD與△CBF中,

,

∴△ACD≌△CBF;


(2)解:證明:∵∠BCE+∠ACE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,

∴∠BCE=∠CAE.

∵AC⊥BC,BF∥AC.

∴BF⊥BC.

∴∠ACD=∠CBF=90°,

在△ACD與△CBF中,

,

∴△ACD≌△CBF,

∴CD=BF.

∵CD=BD= BC,

∴BF=BD.

∴△BFD為等腰直角三角形.

∵∠ACB=90°,CA=CB,

∴∠ABC=45°.

∵∠FBD=90°,

∴∠ABF=45°.

∴∠ABC=∠ABF,即BA是∠FBD的平分線.

∴BA是FD邊上的高線,BA又是邊FD的中線,

即AB垂直平分DF


【解析】(1)根據(jù)∠ACB=90°,AC=BC,求得∠CAD=∠BCF,再利用BF∥AC,求得∠ACB=∠CBF=90°,然后利用ASA即可證明△ACD≌△CBF,
(2)利用同角的余角相等得出,∠BCE=∠CAE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACD=∠CBF=90°,然后由ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD,再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出∠ABC=∠ABF,即BA是∠FBD的平分線,從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角).

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