【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)若CE=12,CF=5,求OC的長(zhǎng);

(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎?若是,請(qǐng)證明;若不是,則說(shuō)明理由;

(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處,且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?并說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)四邊形BCFE不可能是菱形.理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC等中點(diǎn),且∠ACB=90°時(shí)四邊形AECF是正方形.理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)如圖1中,先證明ECF=90°,再證明OC=OE=OF,利用勾股定理即可解決.

(2)如圖2中,根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊即可判斷EF>CF,由此即可判斷.

(3)先證明四邊形AECF是平行四邊形,再證明是矩形,最后證明是正方形即可.

試題解析:(1)如圖1中,∵CE平分∠BCA,CF平分∠ACD,

∴∠ACE=∠ECB=∠ACB,∠ACF=∠FCD=∠ACD,

∴∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACD)=90°,

∴∠ECF=90°,

∵M(jìn)N∥BC,

∴∠OEC=∠ECB=∠OCE,∠OFC=∠FCD=∠FCO,

∴EO=OC=FO,

在RT△ECF中,∵∠ECF=90°,EC=12,CF=5,

∴EF=,

∴OC=EF=

(2)如圖2中,四邊形BCFE不可能是菱形.

由(1)可知∠ECF=90°,

∴EF>CF,

∴四邊形BCFE不可能是菱形.

(3)如圖3中,當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC等中點(diǎn),且∠ACB=90°時(shí)四邊形AECF是正方形.

證明:由(1)可知OC=OE=OF,

∵OA=OC,OE=OF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∵AC=EF,

∴四邊形AECF是矩形,

∵M(jìn)N∥BC,

∵∠AOE=∠ACB=90°,

∴EO⊥AC,∵OA=OC,

∴EA=EC,

∴四邊形AECF是正方形.

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形,然后按圖的方式拼成一個(gè)正方形。

(1)你認(rèn)為圖中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于_________________.

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積。

方法_________________________________________________________.

方法_________________________________________________________.

(3)觀察圖,你能寫出,,mn這三個(gè)代數(shù)式間的等量關(guān)系嗎?

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