Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s)．

(1)求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；

(2)設(shè)△PQD的面積為，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝；（3）詳見解析；（4）當(dāng) 或或 ＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出CP和CQ的長(zhǎng)，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；（2）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于N，用x表示出PD、QN的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點(diǎn)．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；（4）根據(jù)題意可知不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，由（1）可知當(dāng)x＝時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切；當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，8－2x＝，解得x＝，當(dāng)x＝或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切；根據(jù)直線與圓相交的條件可知當(dāng) 或或 ＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．

試題解析：

(1)當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC，

當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x；

∵AB＝BC＝CA＝4，∴∠C＝60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，∴4－x＝2×2x，

∴x＝；

(2)如圖，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于N；

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC＝x；

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2－x，

∴y＝PD﹒QN＝x＝；

(3)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，在Rt△QNC中，QC＝2x，∠C＝60°，NC＝x，

∴BP＝NC，

∵BD＝CD，

∴DP＝DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP＝OQ，

∴ ，

∴AD平分△PQD的面積；

(4)顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

由(1)可知，當(dāng)x＝時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切；當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，8－2x＝，解得x＝，

故當(dāng)x＝或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當(dāng) 或或 ＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．