Question

如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D．若PA、PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的兩個(gè)根，求△PCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得PA=PB，又由PA、PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求得PA與PB的長(zhǎng)，又由CD切⊙O于點(diǎn)E，即可得△PCD的周長(zhǎng)等于PA+PB．

解答：解：∵PA、PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的兩個(gè)根，
∴PA+PB=m，PA•PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，
∴PA=PB=

m

2

，
即

m

2

•

m

2

=m-1，
即m²-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周長(zhǎng)為：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線長(zhǎng)定理以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．