【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形紙片,AB=2.對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,折痕為EF;展平后再過點B折疊矩形紙片,使點A落在EF上的點N,折痕BM與EF相交于點Q;再次展平,連接BN,MN,延長MN交BC于點G.有如下結(jié)論:
①∠ABN=60°;②AM=1;③QN= ;④△BMG是等邊三角形;⑤P為線段BM上一動點,H是BN的中點,則PN+PH的最小值是
其中正確結(jié)論的序號是

【答案】①④⑤
【解析】解:如圖1,連接AN,

∵EF垂直平分AB,

∴AN=BN,

根據(jù)折疊的性質(zhì),可得

AB=BN,

∴AN=AB=BN.

∴△ABN為等邊三角形.

∴∠ABN=60°,∠PBN=60°÷2=30°,

即結(jié)論①正確;

∵∠ABN=60°,∠ABM=∠NBM,

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°,

∴AM= ,

即結(jié)論②不正確.

∵EF∥BC,QN是△MBG的中位線,

∴QN= BG;

∵BG=BM= ,

∴QN= ,

即結(jié)論③不正確.

∵∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°,

∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°,

∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°,

∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°,

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°,

∴△BMG為等邊三角形,

即結(jié)論④正確.

∵△BMG是等邊三角形,點N是MG的中點,

∴BN⊥MG,∴BN=BGsin60°= ,

根據(jù)條件易知E點和H點關于BM對稱,∴PH=PE,

∴P與Q重合時,PN+PH的值最小,此時PN+PH=PN+PE=EN,

∵EN= =

∴PN+PH= ,

∴PN+PH的最小值是

即結(jié)論⑤正確.

所以答案是:①④⑤.

【考點精析】關于本題考查的軸對稱-最短路線問題,需要了解已知起點結(jié)點,求最短路徑;與確定起點相反,已知終點結(jié)點,求最短路徑;已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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