Question

如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm，AC=4cm．
（1）以點(diǎn)C為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時(shí)，直線AB與⊙C相切？為什么？
（2）以點(diǎn)C為圓心，分別以2cm和4cm為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與直線AB分別有怎樣的位置關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CD垂直于AB，根據(jù)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得出圓C與AB相切時(shí)，CD為此時(shí)圓C的半徑，在直角三角形ABC中，由AB及AC的長，利用勾股定理求出BC的長，由直角三角形的面積可以由斜邊AB與高CD乘積的一半來，也可以由兩直角邊乘積的一半來求，可得出CD的長，即為AB與圓C相切時(shí)的半徑；
（2）用半徑和CD的長比較后即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，如圖所示：

Rt△ABC的斜邊AB=8cm，AC=4cm，
根據(jù)勾股定理得：BC=4

3

cm，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=2

3

cm，
則以點(diǎn)C為圓心，當(dāng)半徑為2

3

cm時(shí)，AB與⊙C相切；
（2）∵2＜2

3

＜4
∴以點(diǎn)C為圓心，分別以2cm和4cm為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與直線AB分別相離和相交；

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：勾股定理，三角形的面積求法，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．