Question

14、若A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈是一個凸八邊形，已知∠A₁=∠A₅，∠A₂=∠A₆，∠A₃=∠A₇，∠A₄=∠A₈．試證明該凸八邊形內任一點到八條邊的距離之和是一個定值．

Answer 1

分析：將八邊形問題轉化為熟悉的圖形來解決，想象完整四邊形截去4個角就得到八邊形，就可知向外作輔助線，關鍵是證明對邊平行．

解答：解：延長A₈A₁，A₃A₂相交于點M，延長A₂A₃，A₅A₄相交于點N，延長A₄A₅，A₇A₆相交于點P，延長A₆A₇，A₁A₈相交于點Q，如圖，
由∠A₁=∠A₅，∠A₂=∠A₆，得∠MA₁A₂=∠PA₅A₆，∠MA₂A₁=∠PA₆A₅，有∠M=∠P，
同理可證∠N=∠Q，
∴MNPQ為平行四邊形，
即A₁A₈∥A₄A₅，A₂A₃∥A₇A₈，
同理可證A₁A₂∥A₅A₆，A₃A₄∥A₇A₈，
∴八邊形內任意一點到A₂A₃和A₇A₈的距離和為平行線A₂A₃和A₇A₈間的距離，是一個定值．
可以推得凸八邊形內任意一點到8條邊的距離之和是一個定值．

點評：本題重在考查平行四邊形的性質，即能夠判定四邊形MNPQ為平行四邊形為此題的解題關鍵．