Question

【題目】在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A，C分別在y軸，軸的正半軸上，現(xiàn)將正方形OABC繞點(diǎn)О順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第一次落在直線上時(shí)，停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線于點(diǎn)M，BC邊交軸于點(diǎn)N．

（1）旋轉(zhuǎn)停止時(shí)正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是_________.

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，

①與是否全等？此時(shí)正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是多少？

②直接寫(xiě)出的周長(zhǎng)的值，并判斷這個(gè)值在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否發(fā)生變化．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①全等；22.5°；②的周長(zhǎng)為，在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．

【解析】

（1）根據(jù)直線y=x圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)，得出線y=x與y軸的夾角是45°，即可得出求得邊OA旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）①利用SAS得出全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù)，即可得出答案；
②利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子即可．

（1）∵A點(diǎn)第一次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線與y軸的夾角是，

∴旋轉(zhuǎn)了45°；

（2）①∵，

∴，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵在和中，

，

∴，

∴

，

∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為．

②的周長(zhǎng)的值為2，且在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不發(fā)生變化．

理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)E，

則，

∵，

∴，

又∵，，

在和中，

∴，

∴，．

在和中，

，

∴，

∴．

∴，

∴的周長(zhǎng)為．

∴在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．