Question

如圖在梯形ABCD中，兩對角線AC、BD互相垂直于O點，且AC=6、BD=8，試求梯形ABCD的中位線MN及高h的長．

Answer 1

【答案】分析：過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，并延長MN交DE于K，交BD、AC于G、H，那么根據平行四邊形的判定可知，四邊形ACED是平行四邊形，即可得AD=CE，于是梯形的上下底都轉化到了△BDE中，即BE=AD+BC，那么MN=（AD+BC）=×BE，再根據AC⊥BD，AC∥DE，可證△BDE是直角三角形，利用勾股定理可求BE，從而得出MN，也可以發(fā)現，△BDE的面積就等于梯形ABCD的面積，利用三角形的面積公式可求出梯形的高．
解答：解：過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，并延長MN交DE于K，交BD、AC于G、H，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，AC=DE，
又∵MN是梯形ABCD的中位線，
∴MN=（AD+BC），
∴MN=（CE+BC）=BE
又∵AC∥DE，AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∴BE===10，
∴MN=5，
又∵S_△BDE=BD×DE=BE×h，
∴h=4.8．
點評：本題利用了梯形中位線定理、平行四邊形的判定和性質、三角形中位線定理、三角形的面積公式等知識．關鍵是作輔助線，構造平行四邊形．