Question

（2012•重慶）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設備進行處理．某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設備處理污水，兩種處理方式同時進行．1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y₁（噸）與月份x（1≤x≤6，且x取整數）之間滿足的函數關系如下表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6
輸送的污水量y1（噸）	12000	6000	4000	3000	2400	2000

7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y₂（噸）與月份x（7≤x≤12，且x取整數）之間滿足二次函數關系式為y2=ax2+c(a≠0)．其圖象如圖所示．1至6月，污水廠處理每噸污水的費用：z₁（元）與月份x之間滿足函數關系式：z1=

1

2

x，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用：z₂（元）與月份x之間滿足函數關系式：z2=

3

4

x-

1

12

x2；7至12月，污水廠處理每噸污水的費用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用均為1.5元．
（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，分別直接寫出y₁，y₂與x之間的函數關系式；
（2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；
（3）今年以來，由于自建污水處理設備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產能并將所有污水全部自身處理，估計擴大產能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎上增加（a-30）%，為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔，財政對企業(yè)處理污水的費用進行50%的補助．若該企業(yè)每月的污水處理費用為18000元，請計算出a的整數值．
（參考數據：

231

≈15.2，

419

≈20.5，

809

≈28.4）

Answer 1

分析：（1）利用表格中數據可以得出xy=定值，則y₁與x之間的函數關系為反比例函數關系求出即可，再利用函數圖象得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，求出解析式即可；
（2）利用當1≤x≤6時，以及當7≤x≤12時，分別求出處理污水的費用，即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，進而求出即可．

解答：解：（1）根據表格中數據可以得出xy=定值，則y₁與x之間的函數關系為反比例函數關系：
y₁=

k

x

，將（1，12000）代入得：
k=1×12000=12000，
故y₁=

12000

x

（1≤x≤6，且x取整數）；
根據圖象可以得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，
代入y2=ax2+c(a≠0)得：

10049=49a+c 10144=144a+c

，
解得：

a=1 c=10000

，
故y₂=x²+10000（7≤x≤12，且x取整數）；

（2）當1≤x≤6，且x取整數時：
W=y₁•z₁+（12000-y₁）•z₂=

12000

x

•

1

2

x+（12000-

12000

x

）•（

3

4

x-

1

12

x²），
=-1000x²+10000x-3000，
∵a=-1000＜0，x=-

b

2a

=5，1≤x≤6，
∴當x=5時，W_最大=22000（元），
當7≤x≤12時，且x取整數時，
W=2×（12000-y₂）+1.5y₂=2×（12000-x²-10000）+1.5（x²+10000），
=-

1

2

x²+19000，
∵a=-

1

2

＜0，x=-

b

2a

=0，
當7≤x≤12時，W隨x的增大而減小，
∴當x=7時，W_最大=18975.5（元），
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是22000元；

（3）由題意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，
設t=a%，整理得：10t²+17t-13=0，
解得：t=

-17± 809

20

，
∵

809

≈28.4，
∴t₁≈0.57，t₂≈-2.27（舍去），
∴a≈57，
答：a的值是57．

點評：此題主要考查了二次函數的應用和根據實際問題列反比例函數關系式和二次函數關系式、求二次函數最值等知識．此題閱讀量較大，得出正確關于a%的等式方程是解題關鍵．