【題目】如圖,點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,EAD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CA,給出以下結(jié)論:①DE平分∠BDC; ②△BCE是等邊三角形;③∠AEB=45°;④DE=AD+CD;正確的結(jié)論有_____.(請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào))

【答案】①②③④.

【解析】

①先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°,則AD=BD,再證明CD是邊AB的垂直平分線,得出∠ACD=∠BCD=45°,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE=∠BDE=60°即可;
②先利用等角對(duì)等邊證BC=CE,再推得∠BCE=60°可得結(jié)論;
③利用差可求得結(jié)論:∠AEB=∠BEC-∠AEC;
④截取DG=DC,證明△DCG是等邊三角形,再證明△ACD≌△ECG,利用線段的和與等量代換可得結(jié)論.

解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴DAB的垂直平分線上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分線上,
即直線CDAB的垂直平分線,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,
∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
∴∠CDE=∠BDE,
DE平分∠BDC;
所以①正確;
②∵CA=CB,CA=CE,
∴CB=CE,
∵∠CAD=∠AEC=15°,
∴∠ACE=180°-15°-15°=150°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=150°-90°=60°,
∴△BCE是等邊三角形;
所以②正確;
③∵△BCE是等邊三角形,
∴∠BEC=60°,
∵∠AEC=15°,
∴∠AEB=60°-15°=45°,
所以③正確;
④在DE上取一點(diǎn)G,使DC=DG,連接CG,


∵∠EDC=60°,
∴△DCG是等邊三角形,
∴DC=DG=CG,∠DCG=60°,
∴∠GCE=150°-60°-45°=45°,
∴∠ACD=∠GCE=45°,
∵AC=CE,
∴△ACD≌△ECG,
∴EG=AD,
∴DE=EG+DG=AD+DC,
所以④正確;
正確的結(jié)論有:①②③④;
故答案為::①②③④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)在這個(gè)變化過程中,寫出自變量,因變量;

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∴∠ADB=∠EFB90°   ,

EFAD   ),

   +2180°   ).

又∵∠2+3180°(已知),

∴∠1=∠3   ),

AB      ),

∴∠GDC=∠B   ).

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【題目】某花圃用花盆培育某種花苗,經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系,每盆植入3株時(shí),平均單株盈利3元,以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元,要使每盆的盈利達(dá)到10元,每盆應(yīng)該植多少株? 小明的解法如下:
解:設(shè)每盆花苗增加x株,則每盆花苗有(x+3)株,平均單株盈利為(3﹣0.5x)元,
由題意得(x+3)(3﹣0.5x)=10,
化簡(jiǎn),整理得:x2﹣3x+2=0
解這個(gè)方程,得:x1=1,x2=2,
答:要使每盆的盈利達(dá)到10元,每盆應(yīng)該植入4株或5株.
(1)本題涉及的主要數(shù)量有每盆花苗株數(shù),平均單株盈利,每盆花苗的盈利等,請(qǐng)寫出兩個(gè)不同的等量關(guān)系:
(2)請(qǐng)用一種與小明不相同的方法求解上述問題.

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(1)來自商場(chǎng)財(cái)務(wù)部的數(shù)據(jù)報(bào)告表明,商場(chǎng)1~5月的商品銷售總額一共是410萬元,請(qǐng)你根據(jù)這一信息將圖①中的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
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(1)如表1所示,如果經(jīng)過兩次操作,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù),請(qǐng)寫出每次操作后所得的數(shù)表;(寫出一種方法即可)

1

2

3

-7

-2

-1

0

1

1

(2)如表2所示,若經(jīng)過任意一次操作以后,便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù),求整數(shù)a的值.

a

a2-1

-a

-a2

2-a

1-a2

a-2

a2

表2

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(2)先用三角板畫∠AOB=60°,∠BOC=45°,然后計(jì)算∠AOC的度數(shù).

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