Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）

（1）填空：c=　 　；（用含b的式子表示）

（2）b＜4．

①求證：拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

②設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，當(dāng)線(xiàn)段AB上恰有5個(gè)整點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求b的取值范圍；

（3）平移拋物線(xiàn)，使其頂點(diǎn)P落在直線(xiàn)y=3x﹣2上，設(shè)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，C在該直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上，求△CPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2b﹣4；（2）①詳見(jiàn)解析；②﹣1＜b≤0；（3）△CPQ面積的最大值為．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式求解即可；

（2）①由（1）可知拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2＋bx＋2b4，然后證明△＞0即可；

②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，0≤＜；當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，4.5＜≤4，從而可求得b的取值范圍；

（3）以平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則在新坐標(biāo)系內(nèi)拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2，直線(xiàn)的解析式為y＝3x．過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，x2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，3x），則DC＝3xx2，然后建立三角形的面積與x的函數(shù)關(guān)系式求解即可．

解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得：4﹣2b+c=0，

∴c=2b﹣4，

故答案為：2b﹣4；

（2）①由（1）可知拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+bx+2b﹣4，

∴△=b2﹣4（2b﹣4）=b2﹣8b+16=（b﹣4）2，

又∵b＜4，

∴△＞0，

∴拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)．

∵線(xiàn)段AB上恰有5個(gè)整點(diǎn)，

∴0≤＜，即0≤﹣b＜，

∴﹣1＜b≤0；

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，

∵線(xiàn)段AB上恰有5個(gè)整點(diǎn)，

∴﹣4.5＜≤﹣4，即﹣4.5＜﹣b≤﹣4．

∴8≤b＜9．

解得：﹣1＜b≤0或8≤b＜9，

又∵b＜4，

∴b的取值范圍是：﹣1＜b≤0；

（3）如圖所示：

以平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則在新坐標(biāo)系內(nèi)拋物線(xiàn)的解析式為y=x2，直線(xiàn)的解析式為y=3x．

過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)D，

將y=3x代入y=x2得3x=x2，解得：x=0或x=3，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，x2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，3x），則DC=3x﹣x2，

∴△PQC的面積=DC|xQ﹣xP|=×3×（3x﹣x2）=﹣x2+=﹣（x﹣）2+，

∴△CPQ面積的最大值為．