Question

如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是　    　，線段AD的長(zhǎng)等于　    　；

（2）點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（0，3）；4。

（2）

（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形。

【解析】

試題分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AD的長(zhǎng)：

∵與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴y=0時(shí)，x=﹣3，x=0時(shí)，y=1。

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1）。

∴OC=3，DO=1。

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），線段AD的長(zhǎng)等于4。

（2）首先得出點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。

∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD。∴OM=MD=CM。

∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）。

∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，M，

∴，解得：。

∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：。

（3）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，分析四邊形CFPE為菱形得出即可。

情形1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)，四邊形CFEP為菱形，

∴∠FCE=PCE。

由題意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。

∴∠FCP=90°�！嗔庑蜟FEP為正方形。

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CE，垂足為H，

則Rt△CHP為等腰直角三角形。

∴CP=CH=PH。

設(shè)點(diǎn)P為（x，），則OH=，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，∴，解得：x₁=， x₂=0（舍去）。

∴CP=CH=。

∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l為：。

情形2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，四邊形CFPE為菱形，

∴CF=PF，CE∥FP。

∵直線AC過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3），

∴直線AC的解析式為：y=x+3。

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PF，垂足為M，

則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM。

延長(zhǎng)PF交x軸于點(diǎn)N，則PN⊥x軸，

∴PF=FN﹣PN。

設(shè)點(diǎn)P為（x，），則點(diǎn)F為（x，x+3），

∴。

∴，解得： ，x₂=0（舍去）。

∴。

∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l為：）。

綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長(zhǎng)為或。