【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,經(jīng)過(guò)圓上點(diǎn)D的直線CD恰使∠ADC=∠B.
(1)求證:直線CD是⊙O的切線;
(2)過(guò)點(diǎn)A作直線AB的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且AB=5,BD=2,求線段AE的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析(1).
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)OD,由OD=OB得∠ODB=∠B,而∠ADC=∠B,則∠ODB=∠ADC;再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°,則∠ADO+∠ADC=90°,即∠ODC=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到直線CD是⊙O的切線;
(2)先根據(jù)勾股定理計(jì)算出DA=,再根據(jù)三角形相似的判定方法證明△EAB∽△ADB,然后利用相似比即可計(jì)算出AE的長(zhǎng).
(1)證明:連結(jié)OD,如圖,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B,
∵∠ADC=∠B,
∴∠ODB=∠ADC;
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO+∠ADC=90°,
即∠ODC=90°,
∴OD⊥CD,
∴直線CD是⊙O的切線;
(2)解:在Rt△ABD中,AB=5,BD=2,
∴DA==,
∵AE⊥AB,
∴∠EAB=90°,
∵∠ABE=∠DBA,
∴△EAB∽△ADB,
∴=,即=
∴AE=.
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【題目】下列命題中錯(cuò)誤的是( )
A. 平行四邊形的對(duì)邊相等 B. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D. 矩形的對(duì)角線相等
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