Question

【題目】如圖，正方形中，為邊上任意點，平分，交于點．

（1）如圖1，當點恰好為中點，延長交的延長線于點，求證：；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）如圖2，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接，當時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）由平行線的性質和等角對等邊，即可得到結論成立；

（2）利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD=CG，據此知CG=BC=BE+CE，根據EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；

（3）連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG=∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結合∠AFD=∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF=∠FGH，根據∠ADF=90°即可得證．

解：（1）∵AD∥CG，

∴∠DAF＝∠G，

又∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

∴∠G＝∠EAF，

∴EA＝EG，

（2）∵點F為CD的中點，

∴CF＝DF，

又∵∠DFA＝∠CFG，∠FAD＝∠G，

∴△ADF≌△GCF（AAS），

∴AD＝CG，

∴CG＝BC＝BE+CE，

∴EG＝BE+CE+CE＝BE＝2CE＝AE；

（3）如圖所示，連接DG，

∵CG＝DF，DC＝DA，∠ADF＝∠DCG，

∴△ADF≌△DCG（SAS），

∴∠CDG＝∠DAF，

∴∠HAF＝∠FDG，

又∵∠AFH＝∠DFG，

∴△AFH∽△DFG，

∴，

又∵∠AFD＝∠HFG，

∴△ADF∽△HGF，

∴∠ADF＝∠FGH，

∵∠ADF＝90°，

∴∠FGH＝90°，

∴AG⊥GH．