Question

已知二次函數(shù)的圖象過A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)這個二次函數(shù)的圖象又過點(diǎn)C（0，3）時，求其解析式．
（2）設(shè)（1）中所求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，求S_△APC：S_△ABC的值．
（3）如果二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M在對稱軸上移動，并與y軸交于點(diǎn)D，S_△AMD：S_△ABD的值確定嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由于△APC的面積無法直接求出，因此可用四邊形AOCP的面積（梯形PCNO的面積+△APN的面積）-△AOC的面積來求得．△ABC中，已知了A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)三角形面積公式求出其面積．據(jù)此可求出兩三角形的面積比．
（3）可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)出拋物線的解析式，然后表示出其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，按（2）的方法分別求出△AMD和△ABD的面積．進(jìn)行比較即可（要注意二次函數(shù)二次項系數(shù)的符號要分正負(fù)兩種情況進(jìn)行討論）．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-x₁）（x-x₂）
∵二次函數(shù)的圖象過A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)
∴y=a（x+3）（x-1）
∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)C（0，3）
∴3=a（0+3）（0-1）
∴a=-1
∴所求二次函數(shù)的解析式為：y=-x²-2x+3

（2）∵y=-x²-2x+3
∴P的坐標(biāo)為（-1，4）
過點(diǎn)P作二次函數(shù)圖象的對稱軸交x軸于N
∵S_△APC=S_梯形PNOC+S_△APN-S_△AOC=

1

2

（OC+PN）•ON+

1

2

AN•PN-

1

2

OA•OC=

1

2

（3+4）×1+

1

2

×2×4-

1

2

×3×3=3
S△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6
∴S_△APC：S_△ABC=3：6=1：2；

（3）設(shè)此二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a
∴D（0，-3a）
∵點(diǎn)M在對稱軸x=-1上，且在函數(shù)圖象上
∴M（-1，-4a）
當(dāng)a=0時，即頂點(diǎn)在對稱軸與x軸的交點(diǎn)處，函數(shù)圖象不存在
∴S_△AMD：S_△ABD的值不存在．
當(dāng)a≠0時，S_△AMD=S_梯形ODMN+S_△AMN-S_△AOD=

1

2

（OD+MN）•ON+

1

2

AN•MN-

1

2

OA•OD
=

1

2

（|-3a|+|-4a|）×1+

1

2

×2×|-4a|-

1

2

×3×|-3a|
=

3

2

|-4a|-|-3a|
S_△ABD=

1

2

AB•OD=

1

2

×4×|-3a|=2|-3a|
∴

S△AMD

S△ABD

=

3 2 |-4a|-|-3a|

2|-3a|

當(dāng)a＜0時：

S△AMD

S△ABD

=

3 2 |-4a|-|-3a|

2|-3a|

=

-3a

-6a

=

1

2

當(dāng)a＞0時：

S△AMD

S△ABD

=

3 2 |-4a|-|-3a|

2|-3a|

=

3a

6a

=

1

2

∴當(dāng)a≠0時，S_△AMD：S_△ABD的值是確定的．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．要注意（3）中a的符號不確定時，要分類進(jìn)行討論．