Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）判斷的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1），D；（2）是直角三角形，見(jiàn)解析；（3），.

【解析】

（1）直接將（1，0），代入解析式進(jìn)而得出答案，再利用配方法求出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分別求出AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出即可；

（3）利用軸對(duì)稱(chēng)最短路線求法得出M點(diǎn)位置，求出直線的解析式，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，然后易求此時(shí)△ACM的周長(zhǎng)．

解：（1）∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，

解得：.

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；

（2）是直角三角形，

證明：當(dāng)時(shí)，

∴，即，

當(dāng)時(shí)，，

解得：，，

∴，

∴，，，

∵，，，

∴，

∴是直角三角形；

（3）如圖所示：BC與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M，連接，

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)的值最小，即周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線解析式為：，則，

解得：，

故直線的解析式為：，

∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，

最小周長(zhǎng)是：.