Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于M、N兩點(diǎn)．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）連接OM、ON，求三角形OMN的面積．
（3）連接OM，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把N的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，能求出反比例函數(shù)解析式，把M的坐標(biāo)代入解析式，求出M的坐標(biāo)，把M、N的坐標(biāo)代入y=ax+b，能求出一次函數(shù)的解析式；
（2）求出MN與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出△MOC和△NOC的面積即可；
（3）符合條件的有3個(gè)①OM=OQ，②OM=MQ，③MO=OQ，根據(jù)M的坐標(biāo)求出即可．

解答：解：（1）把N（-1，-4）代入y=

k

x

得：k=4，
∴y=

4

x

，
把M（2，m）代入得：m=2，
∴M（2，2），
把N（-1，-4），M（2，2）代入y=ax+b得：

-4=-a+b 2=2a+b

，
解得：a=2，b=-2，
∴y=2x-2，
答：反比例函數(shù)的解析式是y=

4

x

，一次函數(shù)的解析式是y=2x-2．

（2）設(shè)MN交x軸于C，
y=2x-2，
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，
∴C（1，0），
OC=1，
∴△MON的面積是S=S_△MOC+S_△NOC=

1

2

×1×2+

1

2

×1×|-4|=3，
答：三角形MON的面積是3．

（3）當(dāng)OM=OQ時(shí)，Q的坐標(biāo)是（2

2

，0）；
當(dāng)OM=MQ時(shí)，Q的坐標(biāo)是（4，0）；
當(dāng)OQ=QM時(shí)，Q的坐標(biāo)是（2，0）；
答：在x軸的正半軸上存在點(diǎn)Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2

2

，0）或（4，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性比較強(qiáng)，題型較好，分類討論思想的運(yùn)用．