Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓O與斜邊AB交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；
（2）求AD的長．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），
∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），
∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），
又AD是△ABC的∠BAC的平分線（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），
∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=ED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）；

（2）∵△ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=

52+122

=13，
由（1）得到∠AED=90°，則有∠BED=90°，
設CD=DE=x，則DB=BC-CD=12-x，EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD²=BE²+ED²，
即（12-x）²=x²+8²，
解得：x=

10

3

，
∴CD=

10

3

，又AC=5，△ACD為直角三角形，
∴根據(jù)勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

5 13

3

．