Question

如圖：在△ABC中，∠ABC的三等分線與∠ACB的三等分線分別交于點E、F，連接EF，
（1）若∠A=60°，求∠BEF的度數(shù)；
（2）若∠A=β，則∠BEF與∠A的關(guān)系式是什么？

Answer 1

分析：（1）過點F作FG⊥BC于G，F(xiàn)M⊥BE于M，F(xiàn)N⊥CE于N，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FG=FM=FN，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出EF平分∠BEC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角的三等分求出∠EBC+∠ECB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BEC的度數(shù)，從而得解；
（2）根據(jù)（1）的思路，把∠A=60°換為∠A=β，計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，過點F作FG⊥BC于G，F(xiàn)M⊥BE于M，F(xiàn)N⊥CE于N，
∵∠ABC的三等分線與∠ACB的三等分線分別交于點E、F，
∴BF平分∠EBC，CF平分∠ECB，
∴FG=FM，F(xiàn)G=FN，
∴FM=FN，
∴EF平分∠BEC，
∴∠BEF=

1

2

∠BEC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
根據(jù)三等分，∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

×120°=80°，
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-80°=100°，
∴∠BEF=

1

2

×100°=50°；

（2）與（1）的求法相同，∵∠A=β，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-β，
根據(jù)三等分，∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

（180°-β），
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-

2

3

（180°-β）=60°+

2

3

β，
∴∠BEF=

1

2

×（60°+

2

3

β）=30°+

1

3

β，
即∠BEF=30°+

1

3

β．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)與判定，作輔助線，判斷出EF平分∠BEC是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的利用．