Question

如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成3個(gè)三角形．如果其中有2個(gè)三角形相似，我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；如果這3個(gè)三角形都相似，我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)．
（1）若圖1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，說(shuō)明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；

（2）①如圖2，畫(huà)出矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)．（要求：畫(huà)圖工具不限，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明．）
②對(duì)于任意的一個(gè)矩形，是否一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)？如果一定存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不一定存在，請(qǐng)舉出反例．
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，點(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，判斷AE與BE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△EBC，所以問(wèn)題得解．
（2）①以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求．②不一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)，如正方形．
（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．

解答：解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°．
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)．

（2）①以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求．
如圖所示：連接FC，DF，
∵CD為直徑，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
（若不用圓規(guī)畫(huà)圖，則必須在圖上標(biāo)注直角符號(hào)或?qū)χ苯橇碛姓f(shuō)明．）
②對(duì)于任意的一個(gè)矩形，不一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)，如正方形．（答案不惟一，若學(xué)生畫(huà)圖說(shuō)明也可．）

（3）第一種情況：
∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC．
方法一：
如圖1，延長(zhǎng)DE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
說(shuō)明DE=EF，說(shuō)明AE=BE．

方法二：
如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DC，垂足為F．
因?yàn)椤螦DE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，
所以AE=EF，EF=BE．所以AE=BE．
方法三：
由△ADE∽△EDC可得

DE

DC

=

AE

EC

，
即AE=

DE•EC

DC

．
同理，由△BEC∽△EDC可得

EC

DC

=

BE

ED

，
即BE=

ED•EC

DC

，
所以AE=BE．
方法四：
∵點(diǎn)E是梯形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)
∴△ADE，△BEC以及△CDE是兩兩相似的，
∵△ADE是直角三角形
∴△DEC也是直角三角形．
第一種情況：∠DEC=90°時(shí)
①∠CDE=∠DEA
∴DC∥AE．
這與四邊形ABCD是梯形相矛盾，不成立
②∠CDE=∠EDA
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°
∴∠AED=∠ECD
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴∠AED=∠BCE=∠ECD
∴DE平分∠ADC 同理可得 CE平分∠DCB
過(guò)E作EF⊥DC
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB
∴AE=FE，BE=FE
∴AE=BE
第二種情況：
如圖3，∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
說(shuō)明AE=

1

2

DE，BE=

1

2

CE，DE=

1

2

CE，
（或說(shuō)明BE=DE，AE=

1

2

DE）
所以AE=

1

2

BE．綜上，AE=BE或AE=

1

2

BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及理解相似點(diǎn)和強(qiáng)相似點(diǎn)的概念等，從而可得到結(jié)論．