Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-kx-2=0．
（1）求證：無論k取何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=x₁•x₂，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由a=1，b=-k，c=-2，得△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-2）=k²+8＞0，從而證明方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=-

b

a

=-

-k

1

=k，x1•x2=

c

a

=

-2

1

=-2；和x₁+x₂=x₁•x₂，可得到k的方程，解方程即可．

解答：（1）證明：∵a=1，b=-k，c=-2
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-2）=k²+8，
∵k²＞0，
∴△＞0，
∴無論k取何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：∵x1+x2=-

b

a

=-

-k

1

=k，
x1•x2=

c

a

=

-2

1

=-2；
又∵x₁+x₂=x₁•x₂
∴k=-2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．