Question

在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連接BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點(diǎn)E，P，F(xiàn)，且∠BPF=60度．
（1）如圖1，寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對(duì)給予證明；
（2）若直線l向右平移到圖2，圖3的位置時(shí)（其它條件不變），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出來（不證明），若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）探究：如圖1，當(dāng)BD滿足什么條件時(shí)（其它條件不變），PF=

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2

PE？請(qǐng)寫出探究結(jié)果，并說明理由．
（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）

Answer 1

分析：（1）△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD這兩組三角形都可由一個(gè)公共角和一組60°角來證得．
（2）成立，證法同（1）．
（3）先看PF=

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2

PE能得出什么結(jié)論且∠BPF=60°，因?yàn)椤螾FB=90°，所以∠PBF=90-60=30°，因此當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，PF=

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2

PE．

解答：（1）答：△BPF∽△EBF與△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF為例，
證明如下：
∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF．

（2）解：均成立，均為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．

（3）BD平分∠ABC時(shí)，PF=

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2

PE．
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

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2

PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=

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2

PE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．