Question

（2013•常州模擬）如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），點(diǎn)E在OB上，∠AEO=30°，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠PAE=15°時(shí)，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）如圖1所示，當(dāng)∠PAE=15°時(shí)，可得∠APO=45°，從而可求出AO=3，求出QP，即可得出t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，只有一種情況，也就是⊙P與AE邊相切，且切點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖2所示，求出PE，得出QP，繼而可得t的值．

解答：解：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=30°，
∴OE=OAcot∠AEO=3

3

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3

3

，0）；
（2）如圖1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=30°，
∴∠APO=∠PAE+∠AEO=45°，
∴OP=OA=3，
∴QP=7，
∴t=7秒；

如圖，∵∠AEO=30°，∠PAE=15°，
∴∠APE=15°=∠PAE，
∴AE=PE，
∵AE=

AO

sin30°

=6，
∴t=QP=OQ+OE+PE=10+3

3

；
∴t=7或10+3

3

s．

（3）∵PA是⊙P的半徑，且⊙P與AE相切，
∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖2所示：

∵AE=6，∠AEO=30°，
∴PE=

AE

cos∠AEO

=4

3

，
∴QP=QE-PE=（4+3

3

）-4

3

=4-

3

，
∴t=（4-

3

）秒．

當(dāng)點(diǎn)P與O重合時(shí)，⊙P與AC相切，
∴t=4秒；

當(dāng)PA=PB時(shí)，⊙P與BC相切，
設(shè)OP=x，則PB=PA=6-x，
在Rt△OAP中，x²+3²=（6-x）²，
解得：x=

9

4

，
∴t=4+

9

4

=

25

4

（秒）；
∴t=4-

3

或4或

25

4

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合，涉及了圓與直線的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義及外角的性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問，關(guān)鍵是判斷出符合題意的情況，然后畫出圖形，難度較大．