Question

體驗(yàn)一下生活中的數(shù)學(xué)：如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=20千米，BD=60千米，且CD=60千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)元．
①請(qǐng)你在河流CD上找出水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省．
②求出鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用是多少？

Answer 1

解：①作A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B與CD，交點(diǎn)為M，點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A′作AA′的垂線，延長(zhǎng)BD
交AA′于點(diǎn)K．
∵AC∥BD，CD∥A′K，
∴A′K=CD=60千米，BK=BD+DK=60+20=80千米，
在Rt△A′BK中，
A′B===100（千米）．

②∵鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)元，
∴所需費(fèi)用=100×3=300（萬(wàn)元）．
答：鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用是300萬(wàn)元．
分析：先作點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接點(diǎn)B和點(diǎn)A′，交l于點(diǎn)M，M即所求作的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A′作AA′的垂線，延長(zhǎng)BD
交AA′于點(diǎn)K，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，知：MA+MB=A′B．根據(jù)勾股定理即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．