Question

（本題滿分10分，每小題5分）

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，AE切⊙O于點A，交BC的延長線于點E，連接AC．

（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的長；

（2）求證：AE2＝EB·EC．

 

Answer 1

 

（1）

（2）證明略

解析:

解：（1）解法一：                        解法二：

 ∵AB為⊙O的直徑，                    ∵AB為⊙O的直徑，∠B＝30°，

 ∴∠ACB＝90°．……1分               ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分

 ∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，    ∵弦CD⊥直徑AB于點M，

 ∴BC＝AB•cos30°＝2×…2分   ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分 

 ∵弦CD⊥直徑AB，∠B＝30°，        ∴CD＝2CM＝2×

 ∴ CM＝BC=.……4分                     ＝2×＝……5分

 CD＝2CM＝．……5分  

（其它解法請酌情給分）

（2）證明：∵AE切⊙O于點A，AB為⊙O的直徑，

    ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分

    ∴∠ACE＝∠BAE＝90°．  7分

    又∵∠E＝∠E，

    ∴Rt△ECA∽Rt△EAB．    8分

    ∴．  9分

    ∴AE2＝EB•EC．  10分