【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,AD平分∠CAE交⊙O于點D,且AE⊥CD,垂足為點E.
(1)求證:直線CE是⊙O的切線.
(2)若BC=3,CD=3,求弦AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AD=.
【解析】試題分析:(1)連結(jié)OC,如圖,由AD平分∠EAC得到∠1=∠3,加上∠1=∠2,則∠3=∠2,于是可判斷OD∥AE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥CE,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(2)由△CDB∽△CAD,可得,推出CD2=CBCA,可得(3)2=3CA,推出CA=6,推出AB=CA﹣BC=3,,設(shè)BD=K,AD=2K,在Rt△ADB中,可得2k2+4k2=5,求出k即可解決問題.
試題解析:(1)證明:連結(jié)OC,如圖,
∵AD平分∠EAC,
∴∠1=∠3,
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠2,
∴OD∥AE,
∵AE⊥DC,
∴OD⊥CE,
∴CE是⊙O的切線;
(2)∵∠CDO=∠ADB=90°,
∴∠2=∠CDB=∠1,∵∠C=∠C,
∴△CDB∽△CAD,
∴,
∴CD2=CBCA,
∴(3)2=3CA,
∴CA=6,
∴AB=CA﹣BC=3,,設(shè)BD=K,AD=2K,
在Rt△ADB中,2k2+4k2=5,
∴k=,
∴AD=.
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