Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，與這條拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M（1，2），且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，已知P為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，試證明：當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，線段PQ的長取得最大值，并求出PQ的最大值；
（3）設(shè)D、E為直線AC上的兩點(diǎn)（不與A、C重合），且D在E的左側(cè)，DE=2

2

，過點(diǎn)D作DF⊥x軸交拋物線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥x軸交拋物線于點(diǎn)G．問：是否存在這樣的點(diǎn)D，使得以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)M和拋物線頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)（1）所得拋物線的解析式，可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AC和拋物線的解析式，即可得到P、Q的縱坐標(biāo)，從而得到關(guān)于PQ的長和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷此時(shí)的P點(diǎn)是否為AC的中點(diǎn)即可．
（3）由直線AC的斜率可得∠CAB=45°，因此D、E的橫坐標(biāo)差為2，可設(shè)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可參照（2）的方法求得DF、EG的長，若以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么必須滿足DE=FG，由此可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．需要注意的是：在表示DE、FG的長時(shí)，要分三種情況考慮：
①點(diǎn)D在線段CA的延長線上，E在線段AC上，②D、E都在線段AC上，③點(diǎn)E在線段AC的延長線上，D在線段AC上．

解答：解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-2），（1分）
∴其函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

．（3分）

（2）由

1

2

x²-x-

3

2

=0
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
由A（-1，0）、M（1，2）可得直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1，（4分）
設(shè)P（t，t+1），則Q的坐標(biāo)為（t，

1

2

t²-t-

3

2

）；（5分）
∴PQ=（t+1）-（

1

2

t²-t-

3

2

）=-

1

2

t²+2t+

5

2

=-

1

2

（t-2）²+

9

2

，（6分）
∵a=-

1

2

＜0
∴當(dāng)t=2時(shí)，PQ有最大值為

9

2

，
即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至AC的中點(diǎn)時(shí)，PQ長有最大值為

9

2

．（7分）

（3）由直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1可知：∠CAB=45°，則D、E的橫坐標(biāo)差為2；
設(shè)點(diǎn)D（x，x+1），E（x+2，x+3），則：F（x，

1

2

x²-x-

3

2

），G（x+2，

1

2

x²+x-

3

2

）；
由于DF∥EG，若以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則DF=EG；
①當(dāng)點(diǎn)D在線段CA的延長線上，點(diǎn)E在線段AC上時(shí)；
DF=

1

2

x²-x-

3

2

-（x+1）=

1

2

x²-2x-

5

2

，EG=x+3-（

1

2

x²+x-

3

2

）=-

1

2

x²+

9

2

；
由于DF=EG，則

1

2

x²-2x-

5

2

=-

1

2

x²+

9

2

，
解得x=1±2

2

；
由于x＜0，則D（1-2

2

，2-2

2

）；
②當(dāng)點(diǎn)D、E都在線段AC上時(shí)；
DF=-

1

2

x²+2x+

5

2

，EG=-

1

2

x²+

9

2

；
同①可得：-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

x²+

9

2

，
解得x=1；
故D（1，2）；
③當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上，E點(diǎn)在線段AC的延長線上時(shí)，
DF=

1

2

x²-x-

3

2

-（x+1）=

1

2

x²-2x-

5

2

，EG=x+3-（

1

2

x²+x-

3

2

）=-

1

2

x²+

9

2

；
由于DF=EG，則

1

2

x²-2x-

5

2

=-

1

2

x²+

9

2

，
解得x=1±2

2

；
由于x＞0，則D（1+2

2

，2+2

2

）；
符合條件的點(diǎn)共有3個(gè)，分別為D₁（1，2），D₂（1-2

2

，2-2

2

），D₃（1+2

2

，2+2

2

）．（11分）
（第（3）小題得出1解得（2分），2解得（3分），3解得4分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)考慮了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．