【題目】已知,拋物線(a<0)與x軸交于A(3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,D為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方,且CE=.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求證:直線DE是△ACD外接圓的切線;
(3)在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P,使,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似,直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1),頂點(diǎn)D(1,4);(2)證明見(jiàn)解析;(3)P(, )或(, );(4)(0,0)或(9,0)或(0,﹣).
【解析】試題分析:(1)由對(duì)稱(chēng)軸求出B的坐標(biāo),由待定系數(shù)法求出拋物線解析式,即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理證出△ACD為直角三角形,∠ACD=90°.得出AD為△ACD外接圓的直徑,再證明△AED為直角三角形,∠ADE=90°.得出AD⊥DE,即可得出結(jié)論;
(3)求出直線AC的解析式,再求出線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)N作NP∥AC,交拋物線于點(diǎn)P,求出直線NP的解析式,與拋物線聯(lián)立,即可得出答案;
(4)由相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.
試題解析:(1)∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,點(diǎn)A(3,0),∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,0),OA=3,將A(3,0),B(﹣1,0)代入拋物線解析式中得: ,解得: ,∴拋物線解析式為;當(dāng)x=1時(shí),y=4,∴頂點(diǎn)D(1,4).
(2)當(dāng)=0時(shí),∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),∴AC= =,CD==,AD= =,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD為直角三角形,∠ACD=90°,∴AD為△ACD外接圓的直徑,∵點(diǎn)E在 軸C點(diǎn)的上方,且CE=,∴E(0, ),∴AE= =,DE= =,∴DE2+AD2=AE2,∴△AED為直角三角形,∠ADE=90°,∴AD⊥DE,又∵AD為△ACD外接圓的直徑,∴DE是△ACD外接圓的切線;
(3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得: ,解得: ,∴直線AC的解析式為y=﹣x+3,∵A(3,0),D(1,4),∴線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,2),過(guò)點(diǎn)N作NP∥AC,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)直線NP的解析式為y=﹣x+c,則﹣2+c=2,解得:c=4,∴直線NP的解析式為y=﹣x+4,由y=﹣x+4,y=﹣x2+2x+3聯(lián)立得:﹣x2+2x+3=﹣x+4,解得:x=或x=,∴y=,或y=,∴P(, )或(, );
(4)分三種情況:①M恰好為原點(diǎn),滿足△CMB∽△ACD,M(0,0);
②M在x軸正半軸上,△MCB∽△ACD,此時(shí)M(9,0);
③M在y軸負(fù)半軸上,△CBM∽△ACD,此時(shí)M(0,﹣ );
綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)或(0,﹣ ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3﹣a和2a+7,則44﹣x的立方根為( )
A.﹣5B.5C.13D.10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程.(其中m為實(shí)數(shù))
(1)若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為k,
① 當(dāng)k = m時(shí),求m的值;
② 若記為y,求y與m的關(guān)系式;
(2)當(dāng)<m<2時(shí),判斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC⊥x軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,∠ABC=60°,AB=4,BC=,點(diǎn)D為AC與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn).若直線BD將△ABC的面積分成1:2的兩部分,則k的值為______.
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【題目】如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是( 。
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°
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【題目】在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間,甲車(chē)從A地沿這條公路勻速駛向C地,乙車(chē)從B地沿這條公路勻速駛向A地,在甲車(chē)出發(fā)至甲車(chē)到達(dá)C地的過(guò)程中,甲、乙兩車(chē)各自與C地的距離y(km)與甲車(chē)行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論:①甲車(chē)出發(fā)2h時(shí),兩車(chē)相遇;②乙車(chē)出發(fā)1.5h時(shí),兩車(chē)相距170km;③乙車(chē)出發(fā)h時(shí),兩車(chē)相遇;④甲車(chē)到達(dá)C地時(shí),兩車(chē)相距40km.其中正確的是______(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知:如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的外角平分線,交CB邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
求證:BD=AB+AC.
(2)對(duì)于任意三角形ABC,∠ABC=2∠C,AD是∠BAC的外角平分線,交CB邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出線段AC、AB、BD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點(diǎn)E、F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的長(zhǎng);
(2)連接AE、AF.問(wèn):當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說(shuō)明理由.
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