【題目】已知:拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2)

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn),是否存在使PBC面積最大的點(diǎn)P?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,﹣1),連接AD,將線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN(點(diǎn)M、N分別與點(diǎn)A、D對(duì)應(yīng)),使點(diǎn)M、N都在拋物線上,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)當(dāng)x=2時(shí),S有最大值為4,此時(shí)P(2,3);(3)N(1,3),M(3,2).

【解析】

(1) 根據(jù)拋物線y=y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A (-1, 0)C(0,2)兩點(diǎn),列出bc的二元一次方程組,求出bc的值, 進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式;

(2)過(guò)點(diǎn)PPQ//y,交直線BCQ,設(shè)P(x,),Q(x,);求出PQ的長(zhǎng), 利用=PQ.OB列出S關(guān)于的二次函數(shù), 利用函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)作輔助線,根據(jù)線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN可知: 旋轉(zhuǎn)后的MNAD平行且相等,構(gòu)建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根據(jù)A、 D兩點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn), N點(diǎn)向下平移1個(gè)單位再向右移動(dòng)兩個(gè)單位得M,設(shè)N的坐標(biāo)為:設(shè)N(m,) , 根據(jù)平移規(guī)律表示M (m+2, ) , 代入拋物線的解析式即可

(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2),

,

解得

拋物線的解析式:y=﹣x2+x+2;

(2)∵令y=0,則=﹣x2+x+2=0,

解得x1=﹣1,x2=4

∴B(4,0),

直線BC:y=﹣x+2;

如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PQy軸,交直線BC于Q,

設(shè)P(x,﹣x2+x+2),則Q(x,﹣x+2);

∴PQ=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,

SPCB=PQOB=×(﹣x2+2x)×4=﹣(x﹣2)2+4;

當(dāng)x=2時(shí),S有最大值為4,此時(shí)P(2,3);

(3)如圖2,過(guò)D作DGx軸于G,過(guò)N作NHy軸,過(guò)M作MHx軸,交于H,

由題意得:△ADG≌△MNG,

∵A(﹣1,0),D(1,﹣1),

∴AG=2,DG=1,

∴NH=DG=1,MH=AG=2,

設(shè)N(m,﹣m2+m+2),則M(m+2,﹣m2+m+2﹣1),

把M的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣x2+x+2中得:

(m+2)2+(m+2)+2=﹣m2+m+2﹣1,

解得:m=1,

當(dāng)m=1時(shí),﹣m2+m+2=3,

∴N(1,3),M(3,2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)作出ABC關(guān)于O點(diǎn)成中心對(duì)稱的A2B2C2,并直接寫出A2,B2,C2的坐標(biāo);

3A1B1C1A2B2C2是否成中心對(duì)稱?若是,請(qǐng)寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)矩形 “奇妙四邊形”(填“是”或“不是”);

(2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,若⊙O的半徑為6,∠BCD=60°.求“奇妙四邊形”ABCD的面積;

(3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OMBCM.請(qǐng)猜測(cè)OMAD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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