Question

如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD上的一點，且AE=AD，對角線AC，BD交于點O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四邊形ABCD的面積為S，那么，△GEF的面積為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：過A作AM垂直于BC，交BC于點M，利用平行線間的距離相等得到三角形EBC中BC邊上的高為AM，利用三角形的面積公式表示出三角形EBC的面積，利用平行四邊形的面積公式表示出平行四邊形ABCD的面積，得到三角形EBC的面積為平行四邊形ABCD面積的一半，由平行四邊形的對邊相等且平行，得到AD與BC平行且相等，由兩直線平行得到兩對內錯角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形AEG與三角形BCG相似，三角形EFD與三角形BCF相似，由AE=AD，得到AE=BC，即AE：BC=1：3，由相似得比例得到EG：BG=1：3，根據(jù)三角形EFG與三角形BFG底邊之比為1：3，高相等得到三角形EFG的面積與三角形BFG的面積之比為1：3，即三角形EFG的面積為BEF面積的，同理得到ED=AD=BC，即DE：BC=2：3，由相似得比例得到EF：FC=2：3，由三角形BEF與三角形CFB底邊之比為2：3，高相等得到三角形BEF與三角形BCF面積之比為2：3，即三角形BEF面積為三角形EBC面積的，等量代換可得出三角形EFG為平行四邊形面積的，即可得到正確的選項．
解答：解：過A作AM⊥BC于M，如圖所示：

∵S_△BEC=BC•AM，S_?ABCD=BC•AM，
∴S_△BEC=S_?ABCD=S，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠CBG，
∴△AEG∽△CBG，又AE=AD=BC，
∴==，
∴S_△EFG=S_△BGF，
又S_△EFG+S_△BGF=S_△BEF，
∴S_△EFG=S_△BEF，
∵AE=AD，AD=AE+ED，
∴ED=AD=BC，
同理得到△EFD∽△CFB，
∴==，
∴S_△BEF=S_△BFC，
又S_△BEF+S_△BFC=S_△BEC，
∴S_△BEF=S_△BEC=S，
∴S_△EFG=S．
故選C
點評：此題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，利用了轉化及等量代換的思想，靈活運用轉化思想是解本題的關鍵．