Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，m），過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，且△AOB的面積為

1

2

．
（1）求k和m的值；
（2）點(diǎn)C（x，y）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求當(dāng)1≤x≤3時(shí)函數(shù)值y的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)O的直線l與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，試根據(jù)圖象直接寫出線段PQ長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式先得到m的值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=

k

x

，可求出k的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)得性質(zhì)求解；
（3）P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則PQ=2OP，設(shè)P（a，

1

a

），根據(jù)勾股定理得到OP=

a2+( 1 a )2

=

(a- 1 a )2+2

，從而得到OP最小值為

2

，于是可得到線段PQ長度的最小值．

解答：解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB=

1

2

•OB•AB=

1

2

×2×m=

1

2

，
∴m=

1

2

；
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，

1

2

），
把A（2，

1

2

）代入y=

k

x

，得

1

2

=

k

2

∴k=1；
（2）∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

3

，
又∵反比例函數(shù)y=

1

x

，在x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y的取值范圍為

1

3

≤y≤1；
（3）由圖象可得：P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴PQ=2OP，
反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

，設(shè)P（a，

1

a

），
∴OP=

a2+( 1 a )2

=

(a- 1 a )2+2

，
∴OP最小值為

2

，
∴線段PQ長度的最小值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；也考查了三角形的面積公式以及代數(shù)式的變形能力．