【題目】如圖,動點M在以O(shè)為圓心,AB為直徑的半圓弧上運動(點M不與點A、B 及 的中點F 重合),連接OM.過點M 作ME⊥AB于點E,以BE為邊在半圓同側(cè)作正方形BCDE,過點M作⊙O的切線交射線DC于點N,連接BM、BN.
(1)探究:如圖一,當(dāng)動點M在 上運動時;
①判斷△OEM∽△MDN是否成立?請說明理由;
②設(shè) =k,k是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由;
③設(shè)∠MBN=α,α是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由;
(2)拓展:如圖二,當(dāng)動點M 在 上運動時;
分別判斷(1)中的三個結(jié)論是否保持不變?如有變化,請直接寫出正確的結(jié)論.(均不必說明理由)
【答案】
(1)
解:①△OEM∽△MDN成立,理由如下:
∵四邊形BCDE是正方形,
∴BE=BC,∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°,
∴∠EOM+∠EMO=90°,
∵M(jìn)N是⊙O的切線,
∴MN⊥OM,
∴∠OMN=90°,
∴∠DMN+∠EMO=90°,
∴∠EOM=∠DMN,
∴△OEM∽△MDN;
②k值為定值1;理由如下:
作BG⊥MN于G,如圖一所示:
則BG∥OM,∠BGN=∠BGM=90°,
∴∠OMB=∠GBM,
∵OB=OM,
∴∠OBM=∠OMB,
∴∠OBM=∠GBM,
在△BME和△BMG中, ,
∴△BME≌△BMG(AAS),
∴EM=GM,BE=BG,
∴BG=BC,
在Rt△BGN和Rt△BCN中, ,
∴Rt△BGN≌Rt△BCN(HL),
∴GN=CN,
∴EM+NC=GM+NC=MN,
∴k= = =1;
③設(shè)∠MBN=α,α為定值45°;理由如下:
∵△BME≌△BMG,Rt△BGN≌Rt△BCN,
∴∠EBM=∠GBM,∠GBN=∠CBN,
∴∠MBN= ∠EBC=45°,
即α=45°
(2)
解:(1)中的三個結(jié)論保持不變;理由同(1),
作BG⊥MN于G,如圖二所示.
【解析】(1)①由正方形的性質(zhì)得出BE=BC,∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°,由切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)證出∠EOM=∠DMN,即可得出△OEM∽△MDN;②作BG⊥MN于G,則BG∥OM,∠BGN=∠BGM=90°,由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBM=∠GBM,由AAS證明△BME≌△BMG,得出EM=GM,BE=BG,證出BG=BC,由HL證明Rt△BGN≌Rt△BCN,得出GN=CN,證出EM+NC=GM+NC=MN,即可得出結(jié)論;③由全等三角形的性質(zhì)得出∠EBM=∠GBM,∠GBN=∠CBN,求出∠MBN= ∠EBC=45°即可;(2)(1)中的三個結(jié)論保持不變;解法同(1).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=4.分別以點A、B為圓心畫圓.如果點C在⊙A內(nèi),點B在⊙A外,且⊙B與⊙A內(nèi)切,那么⊙B的半徑長r的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點,與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限的交點為C,CD⊥x軸,垂足為D,若OB=3,OD=6,△AOB的面積為3.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出當(dāng)x>0時,kx+b﹣ <0的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求證:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
小紅同學(xué)根據(jù)題意畫出了圖形,并寫出了已知和求證的一部分,請你補全已知和求證,并寫出證明過程.
①已知:如圖,在ABCD中,對角線AC,BD交于點O,________.
②求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從﹣2,1,3這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù),作為點的坐標(biāo).
(1)寫出該點所有可能的坐標(biāo);
(2)求該點在第一象限的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了備戰(zhàn)初三物理、化學(xué)實驗操作考試,某校對初三學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練,物理、化學(xué)各有4各不同的操作實驗題目,物理用番號①、②、③、④代表,化學(xué)用字母a、b、c、d表示,測試時每名學(xué)生每科只操作一個實驗,實驗的題目由學(xué)生抽簽確定,第一次抽簽確定物理實驗題目,第二次抽簽確定化學(xué)實驗題目.
(1)請用樹形圖法或列表法,表示某個同學(xué)抽簽的各種可能情況.
(2)小張同學(xué)對物理的①、②和化學(xué)的b、c號實驗準(zhǔn)備得較好,他同時抽到兩科都準(zhǔn)備的較好的實驗題目的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【閱讀】
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(a,0)(a>0),B(2,3),C(0,3).過原點O作直線l,使它經(jīng)過第一、三象限,直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點C落在點D處,我們把這個操作過程記為FZ[θ,a].
(1)【理解】
若點D與點A重合,則這個操作過程為FZ[ , ];
(2)【嘗試】
若點D恰為AB的中點(如圖2),求θ;
(3)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點B落在點E處,若點E在四邊形0ABC的邊AB上,求出a的值;若點E落在四邊形0ABC的外部,直接寫出a的取值范圍;
(4)【探究】
經(jīng)過FZ[θ,a]操作后,作直線CD交x軸于點G,交直線AB于點H,使得△ODG與△GAH是一對相似的等腰三角形,直接寫出FZ[θ,a].
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李明為好友制作了一個如圖所示的正方體禮品盒,在六個面上各有一字,連起來就是“祝取得好成績”,其中“!钡膶γ媸恰暗谩保俺伞钡膶γ媸恰翱儭,則它的平面展開圖可能是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點,點A是函數(shù)y1= (x<0)圖象上一點,AO的延長線交函數(shù)y2= (x>0,k<0)的y2圖象于點B,BC⊥x軸,若S△ABC= ,求函數(shù)y2 .
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