【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)為B.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)M在對稱軸上,且位于頂點(diǎn)上方,設(shè)它的縱坐標(biāo)為m,聯(lián)結(jié)AM,用含m的代數(shù)式表示AMB的余切值;

(3)將該拋物線向上或向下平移,使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上.原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,如果OP=OQ,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2.頂點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,3).

(2)cotAMB=m﹣2.

(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,﹣)或(,﹣).

【解析】

試題分析:(1)依據(jù)拋物線的對稱軸方程可求得b的值,然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=x2+2x+c可求得c的值;

(2)過點(diǎn)A作ACBM,垂足為C,從而可得到AC=1,MC=m2,最后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可;

(3)由平移后拋物線的頂點(diǎn)在x軸上可求得平移的方向和距離,故此QP=3,然后由點(diǎn)QO=PO,QPy軸可得到點(diǎn)Q和P關(guān)于x對稱,可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),將點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)代入平移后的解析式可求得對應(yīng)的x的值,則可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析:(1)拋物線的對稱軸為x=1,x=﹣=1,即 =1,解得b=2.

y=﹣x2+2x+c.

將A(2,2)代入得:﹣4+4+c=2,解得:c=2.

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2.

配方得:y=﹣(x﹣1)2+3.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).

(2)如圖所示:過點(diǎn)A作ACBM,垂足為C,則AC=1,C(1,2).

M(1,m),C(1,2),MC=m﹣2.cotAMB==m﹣2.

(3)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上,

拋物線向下平移了3個(gè)單位.

平移后拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣1,PQ=3.

OP=OQ,點(diǎn)O在PQ的垂直平分線上.

QPy軸,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱.

點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣

將y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得:﹣x2+2x﹣1=﹣,解得:x= 或x=

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,﹣)或(,﹣).

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初二1班體育模擬測試成績分析表

平均分

方差

中位數(shù)

眾數(shù)

男生

2

8

7

女生

7.92

1.99

8

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