Question

【題目】菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，對角線AC，BD相交于點O，動點P在線段AC上從點A向點C運動，過P作PE∥AD，交AB于點E，過P作PF∥AB，交AD于點F，四邊形QHCK與四邊形PEAF關(guān)于直線BD對稱. 設(shè)菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1，AP＝x：

（1）對角線AC的長為 ；S菱形ABCD＝ ；

（2）用含x的代數(shù)式表示S1；

（3）設(shè)點P在移動過程中所得兩個四邊形PEAF與QHCK的重疊部分面積為S2，當S2＝S菱形ABCD時，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）、2；2；（2）、S=或S=；（3）、x=

【解析】

試題分析：（1）、根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC和菱形的面積；（2）、本題分0≤x≤和＜x≤2兩種情況分別進行計算，得出函數(shù)關(guān)系式；（3）、首先根據(jù)題意得出有重疊是x的取值范圍，然后得出OP的長度，然后計算出重疊部分的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后求出x的值.

試題解析：（1）、AC＝2；S菱形ABCD＝2

（2）、根據(jù)題設(shè)可知四邊形PEAF是菱形，有一個角是60°，菱形的較短對角線與邊長相等，

① 當0≤x≤時： ∵AP＝x，得菱形PEAF的邊長AE＝EF＝x

S菱形PEAF＝APEF＝xx=， ∴S1＝2 S菱形PEAF＝

②當＜x≤2時：S1等于大菱形ABCD減去未被遮蓋的兩個小菱形，

由菱形PEAF的邊長AE為x，∴BE＝2－x

∴S菱形BEMH＝2×＝

∴S1＝2－2S菱形BEMH＝

（3）、∵有重疊，∴＜x≤2，此時OP＝x－

∴重疊菱形QMPN的邊長MP ＝MN＝

∴S2＝PQMN＝×2（x－）（）＝

令＝，解得x=，符合題意的是