【題目】如圖,在△ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD的中點,點F為AC的中點,連結(jié)EF交CD于點M,連接AM.
(1)求證:EF= AC.
(2)若∠BAC=45°,求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】
(1)證明:∵CD=CB,點E為BD的中點,

∴CE⊥BD,

∵點F為AC的中點,

∴EF= AC


(2)解:∵∠BAC=45°,CE⊥BD,

∴△AEC是等腰直角三角形,

∵點F為AC的中點,

∴EF垂直平分AC,

∴AM=CM,

∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,

∴BC=AM+DM


【解析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE⊥BD,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= AC;(2)判斷出△AEC是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM,然后求出CD=AM+DM,再等量代換即可得解.
【考點精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形和直角三角形斜邊上的中線,需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能得出正確答案.

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圖②:                ,

圖③:                ;

(4)由上述三種情形可以得到一個結(jié)論:如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊垂直,那么這兩個角    (不要求寫出理由).

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