Question

如圖，過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，再過點(diǎn)P作圓的一條割線分別交圓于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B作PA的平行線分別交直線AC、AD于點(diǎn)E、F．求證：BE=BF．

Answer 1

【答案】分析：連接BC、BA、BD．由圓的切線、割線定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠PAC=∠E，則推出△ABC∽△AEB，得出相關(guān)邊的比，然后可得∠ABF=∠PAB=∠ADB，所以△ABF∽△ADB，得出相關(guān)邊的比，結(jié)合切線定理可得結(jié)論．
解答：證明：如圖，連接BC、BA、BD．所以∠ABC=∠PAC=∠E，則△ABC∽△AEB．
從而，，即=①，
∵PA∥EF，PA是圓的切線，
∴∠ABF=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF∽△ADB，從而，
即=②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴，．
∵PA、PB是過圓外一點(diǎn)P作的圓的兩條切線，
∴PA=PB，
∴，于是③，
∴由式①、②、③即知BE=BF．
點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理、圓的切線、割線定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵在于根據(jù)弦切角定理、平行線的性質(zhì)求出角的相等關(guān)系，得出相似三角形，求出比例關(guān)系．