Question

【題目】定義感知：我們把頂點關(guān)于軸對稱，且交于軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點叫“孿生拋物線”的“共點”．如圖所示的拋物線與是一對“孿生拋物線”，其“共點”為點．

初步運用：

判斷下列論斷是否正確？正確的在題后橫線上打“√”，錯誤的則打“”：

①“孿生拋物線”的“共點”不能分布在軸上．________

②“孿生拋物線”與的“共點”坐標為．________

填空：拋物線的“孿生拋物線”的解析式為________．

延伸拓展：在平面直角坐標系中，記“孿生拋物線”的兩頂點分別為，，且，其“共點”與，，三點恰好構(gòu)成一個面積為的菱形，試求該“孿生拋物線”的解析式．

Answer 1

【答案】√

【解析】

初步運用：（1）由“孿生拋物線”的意義判斷即可，它們的共點在y軸，求出其坐標；

（2）由“孿生拋物線”的頂點關(guān)于y軸對稱，所以把解析式化成頂點式，求出其“孿生拋物線”；

延伸拓展：由于其“共點”A與M，M′，O三點恰好構(gòu)成一個面積為12的菱形，且MM′=4，①開口向上時，求出M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），設(shè)出“孿生拋物線”把共點A（0，6）代入即可，②開口向下時，求出M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），設(shè)出“孿生拋物線”把共點A（0，-6）代入即可．

初步運用：

（1）①∵把頂點關(guān)于y軸對稱，且交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點叫“孿生拋物線”的“共點”．

∴“孿生拋物線”的“共點”能分布在x軸上，

②∵交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點叫“孿生拋物線”的“共點”，

∴“孿生拋物線”的“共點”在y軸上，

②“孿生拋物線”y=（x-2）2-9與y=（x+2）2-9

∴令x=0，y=5，

∴共點（0，5）

故答案為×，√

（2）∵拋物線y=-2x2-4x+5=-2（x2+2x）+5=-2（x+1）2+7，

∴它的“孿生拋物線”為y=-2（x-1）2+7=-2（x2-2x+1）+7=-2x2+4x+5，

故答案為y=-2x2+4x+5；

延伸拓展：由題意得，“孿生拋物線”有下面兩種情況：

①當“孿生拋物線”的開口向上時，如圖1所示，

∵由于其“共點”A與M，M′，O三點恰好構(gòu)成一個面積為12的菱形，且MM′=4，

∴MM′×OA=12，

∴OA=6，

∴M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），

由此可設(shè)“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）2+3與y=a（x-2）2+3，

∵點A（0，6）在“孿生拋物線”的圖象上，

∴6=a×22+3，

∴a=，

∴“孿生拋物線”的解析式為：y=（x+2）2+3與y=（x-2）2+3；

②當“孿生拋物線”的開口向下時，如圖2所示，

∵由于其“共點”A與M，M′，O三點恰好構(gòu)成一個面積為12的菱形，且MM′=4，

∴MM′×OA=12，

∴OA=6，

∴M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），

由此可設(shè)“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）2-3與y=a（x-2）2-3，

∵點A（0，-6）在“孿生拋物線”的圖象上，

∴-6=a×22+3，

∴a=-，

∴“孿生拋物線”的解析式為：y=-（x+2）2+3與y=-（x-2）2+3；