Question

（2012•楊浦區(qū)二模）如圖，已知：正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)O為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、D重合），EF⊥OE交邊CD于點(diǎn)F．設(shè)BO=x，AE=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（2）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△EFD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示△EFD的周長(zhǎng)；如果不變化，請(qǐng)求出△EFD的周長(zhǎng)；
（3）以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑作圓，在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，討論⊙O與⊙A的位置關(guān)系，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）OB、OE均是⊙O的半徑，得出OB=OE，然后在RT△AOE中，運(yùn)用勾股定理可得出y與x的關(guān)系式，結(jié)合二次根式有意義的條件，可得出x的范圍；
（2）先判斷△AOE∽△DEF，然后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，可得出△DEF周長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得出答案；
（3）設(shè)⊙O的半徑R₁=x，則⊙A的半徑R₂=8-x，圓心距d=OA=8-x，分三種情況討論，依此解出x的范圍即可．

解答：解：（1）∵以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點(diǎn)E，
∴OB=OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴AO²+AE²=OE²，即（8-x）²+y²=x²，
∵y＞0，
∴y=4

x-4

（4＜x＜8）；

（2）△EFD的周長(zhǎng)不變．理由如下：
∵EF⊥OE，
∴∠AEO+∠DEF=90°，
∵∠D=∠A=90°，
∴∠AEO+∠AOE=90°，
∴∠DEF=∠AOE，
∴△AOE∽△DEF，
∴

C△AOE

C△DEF

=

AO

ED

，即

8+y

C△DEF

=

8-x

8-y

，
∴C_△DEF=

64-y2

8-x

=

64-16x+64

8-x

=

16(8-x)

8-x

=16；

（3）設(shè)⊙O的半徑R₁=x，則⊙A的半徑R₂=8-x，圓心距d=OA=8-x，
∵4＜x＜8，
∴R₁＞R₂，
因?yàn)辄c(diǎn)A始終在⊙O內(nèi)，所以外離和外切都不可能；
①當(dāng)⊙O與⊙A相交時(shí)，R₁-R₂＜d＜R₁+R₂，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，
解得：0＜x＜

16

3

，
故可得此時(shí)：4＜x＜

16

3

；
②當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí)，d=R₁-R₂，即8-x=x-8+x，
解得：x=

16

3

；
③當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)含時(shí)，0＜d＜R₁-R₂，即0＜8-x＜x-8+x，
解得：

16

3

＜x＜8．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題目，涉及了圓與圓的位置關(guān)系判斷、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，整體難度較大，其實(shí)第二問(wèn)和第三問(wèn)是獨(dú)立的，分別考查不同的知識(shí)點(diǎn)．