【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象,經過點A(1,0),B(3,0),C(0,3)三點,過點C,D(﹣3,0)的直線與拋物線的另一交點為E.
(1)請你直接寫出:
①拋物線的解析式 ;
②直線CD的解析式 ;
③點E的坐標( , );
(2)如圖1,若點P是x軸上一動點,連接PC,PE,則當點P位于何處時,可使得∠CPE=45°,請你求出此時點P的坐標;
(3)如圖2,若點Q是拋物線上一動點,作QH⊥x軸于H,連接QA,QB,當QB平分∠AQH時,請你直接寫出此時點Q的坐標.
【答案】(1)①y=x2﹣4x+3,②y=x+3,③(5,8);(2)P1(1,0),P2(9,0);(3)Q(3+,3+2).
【解析】
(1)①假設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),將A,B代入,即可求出拋物線的解析式;
②設直線CD的解析式為y=kx+b,將C,D代入可得直線CD的解析式;
③聯立兩個解析式可得E點坐標;
(2)過點E作EH⊥x軸于H,由已知可推出CD=,DE=,EC=,△ECP∽△EPD,由此可得PE2,根據勾股定理可得PH,由此即可求出點P的坐標;
(3)延長QH到M,使得HM=1,連接AM,BM,延長QB交AM于N,設Q(t,t2﹣4t+3),由題意得點Q只能在點B的右側的拋物線上,則QH=t2﹣4t+3,BH=t﹣3,AH=t﹣1,由此可推出△QHB∽△AHM,據此可得QN⊥AM,當BM=AB=2時,QN垂直平分線段AM,此時QB平分∠AQH,根據勾股定理可得t值,即可推出點Q坐標.
(1)①∵拋物線經過A(1,0),B(3,0),
∴可以假設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),
把C(0,3)代入得到a=1,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3;
②設直線CD的解析式為y=kx+b,則有,
解得,
∴直線CD的解析式為y=x+3;
③由,解得或,
∴E(5,8),
故答案為:y=x2﹣4x+3,y=x+3,(5,8);
(2)如圖1中,過點E作EH⊥x軸于H,
∵C(0,3),D(﹣3,0),E(5,8),
∴OC=OD=3,EH=8,
∴∠PDE=45°,CD=,DE=,EC=,
當∠CPE=45°時,∵∠PDE=∠EPC,∠CEP=∠PED,
∴△ECP∽△EPD,
∴,
∴PE2=ECED=80,
在Rt△EHP中,PH===4,
∴把點H向左或向右平移4個單位得到點P,
∴P1(1,0),P2(9,0);
(3)延長QH到M,使得HM=1,連接AM,BM,延長QB交AM于N,
設Q(t,t2﹣4t+3),由題意得點Q只能在點B的右側的拋物線上,則QH=t2﹣4t+3,BH=t﹣3,AH=t﹣1,
∴==t﹣3=,
∵∠QHB=∠AHM=90°,
∴△QHB∽△AHM,
∴∠BQH=∠HAM,
∵∠BQH+∠QBH=90°,∠QBH=∠ABN,
∴∠HAM+∠ABN=90°,
∴∠ANB=90°,
∴QN⊥AM,
∴當BM=AB=2時,QN垂直平分線段AM,此時QB平分∠AQH,
在Rt△BHM中,BH===,
∴t=3+,
∴Q(3+,3+2).
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【題目】隨著疫情的有效控制我省百大項目之一的哈爾濱地鐵“二號線三號線”全面復工修建,建設方通過合理化地施工設計,加大適當的投入來彌補前期耽誤的工作量,以保證今年修建目標的實現。修建過程中有大量的殘土需要運輸。某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛,全部車輛運輸一次可以運輸110噸殘土.
(1)求該車隊有載重量為8噸、10噸的卡車各多少輛?
(2)隨著工程的進展,該車隊需要一次運輸殘土不低于165噸,為了完成任務,該車隊準備新購進這兩種卡車共6輛,則最多購進載重量為8噸的卡車多少輛?
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【題目】如圖,已知雙曲線y=和直線y=-x+2,P是雙曲線第一象限上一動點,過P作y軸的平行線,交直線y=-x+2于Q點,O為坐標原點.
(1)求直線y=-x+2與坐標軸圍成三角形的周長;
(2)設△PQO的面積為S,求S的最小值.
(3)設定點R(2,2),以點P為圓心,PR為半徑畫⊙P,設⊙P與直線y=-x+2交于M、N兩點.
①判斷點Q與⊙P的位置關系,并說明理由;
②求S△MON=S△PMN時的P點坐標.
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【題目】已知關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.
(1)若該方程有兩個實數根,求m的最小整數值;
(2)若方程的兩個實數根為x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知A(0,6),B(2,0),C(6,0),D為線段BC上的動點,以AD為邊向右側作正方形ADEF,連接CF交DE于點P,則CP的最大值_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(≠)的圖象與反比例函數 ()的圖象交于A、B兩點,與軸交于C點,點A的坐標為(,6),點C的坐標為(-2,0),且.
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式;
(2)求點B的坐標;
(3)利用圖象求不等式:.
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【題目】四張撲克牌的點數分別是2,5,6,8,除點數不同外,其余都相同,將它們洗勻后背面朝上放在桌上
(1)若從中隨機抽取一張牌,則抽出的牌的點數是偶數的概率為 ;
(2)若隨機抽取一張牌不放回,接著再抽取一張牌,請用列表法或畫樹狀圖法(只選其中一種)表示出所有可能出現的結果,并求所抽兩張牌的點數都是偶數的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為A(1,0),等腰直角三角形ABC的邊AB在x軸的正半軸上,∠ABC=90°,點B在點A的右側,點C在第一象限.將△ABC繞點A逆時針旋轉75°,如果點C的對應點E恰好落在y軸的正半軸上,那么點C的坐標為_____.
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【題目】我們知道求函數圖象的交點坐標,可以聯立兩個函數解析式組成方程組,方程組的解就是交點的坐標.如:求直線y=2x+3與y=﹣x+6的交點坐標,我們可以聯立兩個解析式得到方程組,解得,所以直線y=2x+3與y=﹣x+6的交點坐標為(1,5).請利用上述知識解決下列問題:
(1)已知直線y=kx﹣2和拋物線y=x2﹣2x+3,
①當k=4時,求直線與拋物線的交點坐標;
②當k為何值時,直線與拋物線只有一個交點?
(2)已知點A(a,0)是x軸上的動點,B(0,4),以AB為邊在AB右側做正方形ABCD,當正方形ABCD的邊與反比例函數y=的圖象有4個交點時,試求a的取值范圍.
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