Question

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，且滿足（如圖1所示）．
（1）當AD=2，且點Q與點B重合時（如圖2所示），求線段PC的長；
（2）在圖1中，連接AP．當AD=，且點Q在線段AB上時，設點B、Q之間的距離為x，，其中S_△APQ表示△APQ的面積，S_△PBC表示△PBC的面積，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（3）當AD＜AB，且點Q在線段AB的延長線上時（如圖3所示），求∠QPC的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）當AD=2時，AD=AB，此時△ABD為等腰直角三角形，易證△BPC也是等腰直角三角形，BC長已知，則PC的長可求；
（2）易知點P到AB的距離與到BC的距離的比與BA、AD長度的比相等，即△APQ中AQ邊上的高與△PBC中BC邊上的高的比可求；AQ=2-x，BC=3，則△APQ與△BPC的面積可表示出來，利用其面積比為y，可得函數關系式；
（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知條件可證Rt△PCF∽Rt△PQE，則∠EPQ=∠FPC，利用角的和差關系可求得∠QPC=90°．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°．
當AD=2時，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PBC=∠D=45°．
∵，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°．
∴PC=BC•sin45°=3×．

（2）如圖，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形EBFP是矩形．
∴PF=BE．
又∵∠BAD=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
設BE=4k，則PE=3k，
∴PF=BE=4k．
∵BQ=x，
∴AQ=AB-BQ=2-x．
∴S_△AQP=AQ•PE=（2-x）•3k，S_△BPC=BC•PF=×3×4k=6k．
∵，
∴，
即y=-x+．
過D作BC的垂線DM，在直角△DCM中，DC===．
當P在D點時，x最大，則PC=DC=，而，得PQ=，利用勾股定理得到AQ=，所以此時BQ=
∴0≤x≤．

（3）如圖，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形EBFP是矩形．
∴PF=BE，∠EPF=90°．
又∵∠A=90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠EPQ=∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°，
即∠QPC=90°．
點評：本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．