Question

如圖①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問(wèn)題：

（1）試說(shuō)明：OB∥AC；
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．試求∠EOC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若左右平行移動(dòng)AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)比值；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)∠OEB=∠OCA時(shí)，試求∠OCA的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明．
（2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOCP=

1

2

（∠BOF+∠FOA）=

1

2

∠BOA，算出結(jié)果．
（3）先得出結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化，理由為：由BC與AO平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代換得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證；
（4）由（2）（3）的結(jié)論可得．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；

（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°，
∴∠BOA=80°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠FOC=

1

2

（∠BOF+∠FOA）=

1

2

∠BOA=40°；

（3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：
∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2；

（4）由（1）知：OB∥AC，
則∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設(shè)：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
則∠OCA=∠BOC=2α+β，
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，
∵∠OEC=∠OCA，
∴2α+β=α+2β，
∴α=β，
∵∠AOB=80°，
∴α=β=20°，
∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及角的計(jì)算，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．