Question

例：說(shuō)明代數(shù)式的幾何意義，并求它的最小值．

解：，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，則可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A（0，1）的距離，可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，則PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，

只需求PA′＋PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短，

所以PA′＋PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)度．為此，構(gòu)造直角

三角形A′CB，因?yàn)锳′C＝3，CB＝3，所以A′B＝，

即原式的最小值為。

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：

（1）代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B        的距離之和．（填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)）

（2）求代數(shù)式的最小值

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，3）；（2）10.

【解析】

試題分析：（1）先把原式化為的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；

（2）先把原式化為的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，再根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，利用勾股定理得出結(jié)論即可．

試題解析：

（1）∵原式化為的形式，

∴代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B（2，3）的距離之和，

故答案為（2，3）；

（2）∵原式化為 的形式，

∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，

如圖所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，則PA=PA′，

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)度，

∵A（0，7），B（6，1）

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴，

考點(diǎn)：1.軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．