Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+ x+c與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連結(jié)AB，點(diǎn)C（6， ）在拋物線上，直線AC與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，點(diǎn)Q在y軸正半軸上，連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M，連結(jié)MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，若M為PQ的中點(diǎn)．
①求證：△APM∽△AON；
②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求AN的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1） 解：把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ， 解得c=﹣3，∴拋物線解析式為 ， 令y=0可得 ，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式 為y=kx+b（k≠0），把A、C坐標(biāo)代入可得： ，解得： ，∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為

（2） 解：①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，在RtAOD中，tan ∠OAD= = ，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M為PQ的中點(diǎn)，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；

②如圖，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，

則OE=EP，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD= ，∴co s∠EAM=cos∠OAD= ，∴ = ，∴AM= AE= ， ∵△APM∽△AON，∴ ， 即 ，∴AN=

【解析】（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出拋物線解析式，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A、C坐標(biāo)代入，求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)解直角三角形，得到∠OAB=∠OAD，再由已知條件得到△APM∽△AON；得出比例，求出AN的值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題．