在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,點(diǎn)M在BC上.
(1)若BM=3時,求點(diǎn)D到直線AM的距離;
(2)若AM⊥DM,求BM的長.
分析:(1)過點(diǎn)D作DH⊥AM垂足為H,根據(jù)AB=4,BM=3利用勾股定理得AM=5,然后利用sin∠DAM=sin∠AMB=
4
5
=
DH
10
即可求得DH=
4
5
×10=8

(2)根據(jù)AM⊥DM,得到∠AMB+∠DMC=90°,然后再根據(jù)∠AMB+∠BAM=90°得到∠BAM=∠DMC,從而證得△ABM∽△DMC,利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等得到
BM
DC
=
AB
MC
,從而得到BM2-10BM+16=0,解得BM即可.
解答:解:(1)如圖(2),
過點(diǎn)D作DH⊥AM垂足為H,
∵AB=4,BM=3
∴AM=5.
∴sin∠DAM=sin∠AMB=
4
5
=
DH
10
,
DH=
4
5
×10=8

(2)如圖(3)
∵AM⊥DM,
∴∠AMB+∠DMC=90°,
∵∠AMB+∠BAM=90°
∴∠BAM=∠DMC
∴△ABM∽△MCD,
BM
DC
=
AB
MC

BM
4
=
4
10-BM

∴BM2-10BM+16=0,解得,BM=2或BM=8.
點(diǎn)評:本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義,屬于綜合題,難度適中.
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