Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個頂點處于點O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點E、F，設BE=．
（1）若三角板的直角頂點處于點O處，如圖（2）．判斷三角形EOF的形狀，并說明理由。

（2）在（1）的條件下，若三角形EOF的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式。
（3）若三角板的銳角頂點處于點O處，如圖（3）．

①若DF=，求關于的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
②探究直線EF與正方形ABCD的內切圓的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）△EOF是等腰直角三角形，（2）S=x2-2x+4 (3)EF與正方形ABCD的內切圓相切。

試題分析：解：（1）∵正方形ABCD∴∠AOB=∠EOF=，BO=AO=OD，
∠OAF=∠OBE=∴∠AOF=∠BOE∴△AOF≌△BOE
∴OE=OF  ∴三角形EOF是等腰直角三角形。
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=

∵∴

（3）①∵∠EOF=∠0BE= ∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=∴△BOE∽△DFO
∴∴ 
（）
②連結EF

由①知△BOE∽△DFO
∴∵BO=DO
∴而∠EOF=∠0BE=
∴△EOF∽△EBO，∴∠FEO=∠0EB
∴點O到EF、BE的距離相等，而O到BE的距離即為正方形內切
圓⊙O的半徑
∴直線EF與正方形的內切圓相切
點評：熟知以上的定義性質，定理。本題應用的知識面很廣，對學生要求很高，要認真的體會，把知識點很好的結合在一起，本題難度較大問多，屬于偏難題。