【題目】如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線y=a(x﹣2)2+k經(jīng)過點A、B,并與X軸交于另一點C,其頂點為P.
(1)求a,k的值;
(2)拋物線的對稱軸上有一點Q,使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形,求Q點的坐標;
(3)在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N,使以A,C,M,N為頂點的四邊形為正方形,求此正方形的邊長.
【答案】(1)1,﹣1(2)(2,2)(3)
【解析】
試題分析:(1)先求出直線y=﹣3x+3與x軸交點A,與y軸交點B的坐標,再將A、B兩點坐標代入y=a(x﹣2)2+k,得到關于a,k的二元一次方程組,解方程組即可求解;
(2)設Q點的坐標為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點F,過點B作BE垂直于直線x=2于點E.在Rt△AQF與Rt△BQE中,用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+(3﹣m)2,解方程求出m=2,即可求得Q點的坐標;
(3)當點N在對稱軸上時,由NC與AC不垂直,得出AC為正方形的對角線,根據(jù)拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì),得到M點與頂點P(2,﹣1)重合,N點為點P關于x軸的對稱點,此時,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,則四邊形AMCN為正方形,在Rt△AFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長.
試題解析:(1)∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,
∴A(1,0),B(0,3).
又∵拋物線y=a(x﹣2)2+k經(jīng)過點A(1,0),B(0,3),
∴,解得,
故a,k的值分別為1,﹣1;
(2)設Q點的坐標為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點F,過點B作BE垂直于直線x=2于點E.
在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,
∵AQ=BQ,
∴1+m2=4+(3﹣m)2,
∴m=2,
∴Q點的坐標為(2,2);
(3)當點N在對稱軸上時,NC與AC不垂直,所以AC應為正方形的對角線.
又∵對稱軸x=2是AC的中垂線,
∴M點與頂點P(2,﹣1)重合,N點為點P關于x軸的對稱點,其坐標為(2,1).
此時,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,
∴四邊形AMCN為正方形.
在Rt△AFN中,AN==,即正方形的邊長為.
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【題目】如圖所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,給出下列結論:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△CAN≌△ABM;④CD=DN其中正確的結論是( )
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
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【題目】一臺收割機收割一塊麥田,上午收割了麥田的25%,下午收割了剩下麥田的20%,結果還剩下6.6公頃麥田未收割,這塊麥田一共有_____公頃.
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【題目】如圖,已知ABCD的周長為8 cm,∠B=30°,若邊長AB為x cm.
(1)寫出ABCD的面積y(cm2)與x(cm)的函數(shù)關系式,并求自變量x的取值范圍.
(2)當x取什么值時,y的值最大?并求出最大值.
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【題目】如圖,A,B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車直接沿直線AB行駛.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,則隧道開通后,汽車從A地到B地比原來少走多少千米?(結果精確到0.1km)(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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【題目】下列各數(shù),屬于科學記數(shù)法表示的是( ).
A.53.7×102
B.0.537×104
C.537×102
D.5.37×103
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,AB邊上有一動點P,連接PD,線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到線段PE,且PE交BC于F,連接DF,過點E作EQ⊥AB的延長線于點Q.
(1)求線段PQ的長;
(2)問:點P在何處時,△PFD∽△BFP,并說明理由.
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【題目】以下是某手機店1~4月份的統(tǒng)計圖,分析統(tǒng)計圖,對3、4月份三星手機的銷售情況四個同學得出的以下四個結論,其中正確的為( )
A.4月份三星手機銷售額為65萬元
B.4月份三星手機銷售額比3月份有所上升
C.4月份三星手機銷售額比3月份有所下降
D.3月份與4月份的三星手機銷售額無法比較,只能比較該店銷售總額
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