Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的表達(dá)式；
（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先解一元二次方程，得到線段OB、OC的長，也就得到了點(diǎn)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）把A、B、C三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式就能求得二次函數(shù)解析式；
（3）易得S_△EFF=S_△BCE-S_△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長，進(jìn)而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；
（4）利用二次函數(shù)求出最值，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8 （1分）
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-2
∴由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）（2分）

（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上
∴c=8，將A（-6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，
得：

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

解得

a=- 2 3 b=- 8 3

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8（5分）

（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

10

=

8-m

8

∴EF=

40-5m

4

（6分）
過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

∴

FG

EF

=

4

5

∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m
∴S=S_△BCE-S_△BFE
=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）
=

1

2

（8-m）m
=-

1

2

m²+4m（8分）
自變量m的取值范圍是0＜m＜8 （9分）

（4）存在．
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S_最大值=8 （10分）
∵m=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）
∴△BCE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查一元二次方程的解法；用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；以及求二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)．